Số 27 mất 111 bước để về 1 theo quy tắc Collatz

Phỏng đoán Collatz là một trong những bài toán đơn giản nhất chưa được giải trong toán học. Quy tắc chỉ gồm hai phép: nếu số đang xét là chẵn thì chia đôi, nếu là lẻ thì nhân ba rồi cộng thêm một. Lặp lại mãi, mọi dãy số được cho là cuối cùng đều rơi về 1 — nhưng chưa ai chứng minh được điều đó cho mọi số nguyên dương. ^[1][4]

Vì sao số 27 lại nổi tiếng?

Số 27 là ví dụ kinh điển cho thấy một khởi đầu nhỏ có thể tạo ra hành trình dài và hỗn loạn đến mức nào. Từ 27, dãy số không hề giảm đều mà vọt lên tận 9.232 trước khi lao xuống 1, tổng cộng 111 bước. Chính hình ảnh "leo dốc rồi rơi" này khiến 27 trở thành ví dụ minh họa phổ biến cho sự khó lường của phỏng đoán. ^[2][5]

Quy tắc hoạt động thế nào

• Nếu n là số chẵn, bước tiếp theo là n chia 2. ^[1][4]
• Nếu n là số lẻ, bước tiếp theo là 3n cộng 1. ^[1][4]
• Ví dụ với 27: 27 lẻ nên thành 82, rồi 82 chẵn nên thành 41, và cứ tiếp tục như vậy. ^[2][5]
• Phỏng đoán khẳng định dãy luôn kết thúc ở chu trình 4 → 2 → 1 bất kể bắt đầu từ số nguyên dương nào. ^[1][4]

Ai nghĩ ra nó?

1. 1937

   Nhà toán học người Đức Lothar Collatz đề xuất bài toán, thường được gọi là phỏng đoán Collatz.

2. Thế kỷ 20

   Bài toán lan rộng trong giới toán học dưới nhiều tên gọi khác nhau như bài toán 3n+1 hay phỏng đoán Ulam.

3. Hiện nay

   Đã kiểm chứng bằng máy tính cho mọi số nguyên dương rất lớn, nhưng chưa có chứng minh cho tất cả các số.

Một điểm thú vị khác: số 27 mất nhiều bước hơn hẳn các số nhỏ gần nó. Số 26 chỉ cần 10 bước để về 1, còn 27 cần tới 111 bước — một sự chênh lệch cho thấy dãy Collatz không tăng hay giảm theo quy luật dễ đoán. ^[2][5]

Cho tới nay phỏng đoán vẫn là bài toán mở. Việc kiểm tra bằng máy tính đã xác nhận nó đúng với hàng tỷ tỷ số đầu tiên, nhưng xác nhận theo kiểu đó không thể thay thế một chứng minh toán học cho mọi số nguyên dương. ^[3][4]